Τι θα μάθουμε σε αυτή την ενότητα:
- Τους κλασματικούς αριθμούς
- Τα κλάσματα που είναι μεγαλύτερα της ακέραιης μονάδας.
- Για το κλάσμα ως πηλίκο διαίρεσης
- Για την ισοδυναμία κλασμάτων – Απλοποίηση κλασμάτων
- Πως κάνω σύγκριση και διάταξη κλασμάτων
- Πως κάνω πρόσθεση και αφαίρεση κλασμάτων
- Πως κάνω πολλαπλασιασμό φυσικού αριθμού ή κλάσματος με κλάσμα
- Τους αντίστροφους αριθμούς
- Την διαίρεση κλασμάτων
- Την αναγωγή στην κλασματική μονάδα
Θεωρία
- Ο παρονομαστής μας δείχνει σε πόσα ίσα μέρη έχουμε χωρίσει την ακέραιη μονάδα.
- Ο αριθμητής μας δείχνει πόσα από τα ίσα μέρη, στα οποία χωρίστηκε η ακέραια μονάδα, πήραμε.
- Η κλασματική γραμμή είναι η πράξη της διαίρεσης.
- Κάθε κλάσμα μας εκφράζει το μέρος του ολόκληρου (αριθμητής το μέρος, παρονομαστής το ολόκληρο)
Κλασματική μονάδα είναι το ένα από τα ίσα μέρη που χωρίσαμε την ακέραιη μονάδα.
Είναι ένα κλάσμα που έχει αριθμητή την μονάδα (1).
Κλασματική μονάδα μπορεί να είναι και το ένα από τα ίσα μέρη, στα οποία χωρίζουμε ένα πλήθος ομοειδών αντικειμένων. Π.χ. το 1/5 των 20 μαθητών.
Ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες κλασματικές μονάδες μεγαλύτερη είναι εκείνη που έχει το μικρότερο παρονομαστή και μικρότερη εκείνη που έχει το μεγαλύτερο παρονομαστή.
Γνήσια κλάσματα
• Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή λέγονται γνήσια κλάσματα. Αυτά είναι μικρότερα από μία ακέραιη μονάδα.
Ίσα με την ακέραιη μονάδα
• Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή ίσο με τον παρονομαστή λέγονται ισοδύναμα (ίσα) με την ακέραιη μονάδα. Αυτά έχουν την ίδια αξία με την ακέραιη μονάδα.
Καταχρηστικά κλάσματα
• Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή λέγονται καταχρηστικά κλάσματα. Αυτά είναι μεγαλύτερα από μία ακέραιη μονάδα.
Δραστηριότητες
Μαθαίνω παίζοντας
Θεωρία
- Ένα κλάσμα είναι μεγαλύτερο από την ακέραιη μονάδα (καταχρηστικό κλάσμα), όταν ο αριθμητής του είναι μεγαλύτερος από τον παρονομαστή του.
- Μεικτός ονομάζεται ο αριθμός που αποτελείται από ακέραιο μέρος και κλασματικό μέρος.
- Ένας μεικτός αριθμός μπορεί να μετατραπεί σε καταχρηστικό κλάσμα και το αντίστροφο.
Μετατρέπω μεικτό αριθμό σε κλάσμα
- Γράφουμε την κλασματική γραμμή.
- Παρονομαστή αφήνουμε τον ίδιο.
- Πολλαπλασιάζουμε τον ακέραιο με τον παρονομαστή.
- Προσθέτουμε στο γινόμενο τον αριθμητή.
- Βάζουμε στη θέση του αριθμητή το άθροισμα.
Δραστηριότητες
Θεωρία
- Κάθε κλάσμα είναι ίσο με το πηλίκο μιας διαίρεσης: (αριθμητής) : (παρονομαστή)
- Αντίστροφα κάθε διαίρεση μπορούμε να την εκφράσουμε και ως κλάσμα.
- Κάθε κλάσμα μπορεί να εκφραστεί ως δεκαδικός αν κάνουμε τη διαίρεση.
- Αν η διαίρεση είναι ατελής σταματάμε όπου μας χρειάζεται.
- Κάθε δεκαδικός μπορεί να μετατραπεί σε κλάσμα.
- Κάθε καταχρηστικό κλάσμα μπορώ να το μετατρέψω σε μεικτό με τη διαίρεση (αριθμητής : παρονομαστή)
Καταχρηστικό κλάσμα σε μεικτό αριθμό
Θεωρία
Δύο ή περισσότερα κλάσματα που έχουν διαφορετικούς όρους, δηλαδή διαφορετικό αριθμητή & παρονομαστή, αλλά εκφράζουν την ίδια ποσότητα, λέγονται ισοδύναμα.
Δημιουργώ ισοδύναμα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας ή διαιρώντας και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό.
Όταν πολλαπλασιάζω και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει ένα κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό με μεγαλύτερους όρους
Όταν διαιρώ και τους δύο όρους ενός κλάσματος με τον ίδιο αριθμό, προκύπτει ένα κλάσμα ισοδύναμο με το αρχικό με μικρότερους όρους
Απλοποίηση ενός κλάσματος λέγεται η εύρεση ενός ισοδύναμου κλάσματος με μικρότερους όρους. Αυτό γίνεται διαιρώντας τους δυο όρους του αρχικού κλάσματος με τον ίδιο αριθμό.
Προσέχω! Διαιρώ κάθε φορά με τους Κ.Δ του αριθμητή και του παρονομαστή, το αρχικό κλάσμα.
Αν ένα κλάσμα δεν μπορεί να απλοποιηθεί (δεν υπάρχει αριθμός εκτός από το 1, που να είναι κοινός διαιρέτης του αριθμητή και του παρονομαστή του), ονομάζεται ανάγωγο.
Μαθαίνω παίζοντας
Παιχνίδι με τα ισοδύναμα κλάσματα (του εκπαιδευτικού Σουδία Γιάννη)
Θεωρία
• Στη σύγκριση δύο ή περισσότερων κλασμάτων, μεγαλύτερο είναι το κλάσμα που εκφράζει μεγαλύτερο μέρος του όλου (της ακέραιης μονάδας).
• Στη σύγκριση κλασμάτων με ίδιους παρονομαστές, μεγαλύτερο είναι το κλάσμα με τον μεγαλύτερο αριθμητή (παίρνω περισσότερα από τα ίσα μέρη που έχει χωριστεί η ακέραιη μονάδα).
• Στη σύγκριση κλασμάτων με ίδιους αριθμητές, μεγαλύτερο είναι το κλάσμα με τον μικρότερο παρονομαστή, επειδή παίρνω ίδιο αριθμό μερών, αλλά κάθε μέρος είναι μεγαλύτερο σε μέγεθος (η ακέραιη μονάδα έχει χωριστεί σε λιγότερα μέρη).
Θεωρία
Προσθέτω - Αφαιρώ ομώνυμα κλάσματα
• Για να προσθέσω ομώνυμα κλάσματα, προσθέτω τους αριθμητές τους και αφήνω τον ίδιο παρονομαστή
• Για να αφαιρέσω ομώνυμα κλάσματα, αφαιρώ τους αριθμητές και αφήνω τον ίδιο παρονομαστή
Προσθέτω - Αφαιρώ ετερώνυμα κλάσματα
• Για να προσθέσω ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπω πρώτα σε ομώνυμα και μετά κάνω την πρόσθεση
• Για να αφαιρέσω ετερώνυμα κλάσματα, τα μετατρέπω πρώτα σε ομώνυμα και μετά κάνω την αφαίρεση
Μαθαίνω παίζοντας
Θεωρία
• Στον πολλαπλασιασμό δεν εξετάζω αν τα κλάσματα είναι ομώνυμα ή ετερώνυμα.
• Για να πολλαπλασιάσω κλάσματα πολλαπλασιάζω αριθμητή με αριθμητή και παρονομαστή με παρονομαστή.
• Για να πολλαπλασιάσω κλάσμα με ακέραιο ή ακέραιο με κλάσμα μετατρέπω τον ακέραιο σε κλάσμα και στην συνέχεια πολλαπλασιάζω τα κλάσματα
Θεωρία
• Στην διαίρεση δεν εξετάζω αν τα κλάσματα είναι ομώνυμα ή ετερώνυμα.
• Για να διαιρέσω κλάσματα αντιστρέφω τους όρους του διαιρέτη και αντί για διαίρεση κάνω πολλαπλασιασμό.
• Για να διαιρέσω κλάσμα με ακέραιο ή ακέραιο με κλάσμα μετατρέπω τον ακέραιο σε κλάσμα και στην συνέχεια κάνω τη διαίρεση των κλασμάτων.
